\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Mà CD là giao tuyến (SCD) và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\Rightarrow SA=AD.tan60^0=3a\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABCD)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=3\Rightarrow\widehat{SBA}=...\)

b.

Từ A kẻ \(AE\perp BD\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAE\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SBD) và (ABCD)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=2\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SEA}=...\)

Đáp án B

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

V A B C D = 1 3 S A . S A B C D = 1 3 2 a .3 a 2 = 2 a 3

Lần lượt kẻ \(AE\perp SB\)  (1) và \(AF\perp SD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(AF\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AE và AF

Cũng từ \(BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBCD) và đáy

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\) ; \(SD=a\sqrt{6}\)

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a\Rightarrow cos\widehat{BSD}=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2SB.SD}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

\(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\dfrac{3a}{2}\) ; \(SF=\sqrt{SA^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow EF=\sqrt{SE^2+SF^2-2SE.SF.cos\widehat{BSD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{EAF}=\dfrac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

Đáp án D

Kẻ A H ⊥ B D  với H ∈ B D  ta có S H ⊥ B D , từ đó suy ra S H A ^  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (BACD).

Ta có 1 A H 2 = 1 A B 2 + 1 A D 2 = 1 a 2 + 1 4 a 2 = 5 4 a 2 ⇒ A H = 2 a 5  

Vậy tan S H A ^ = S A A H = a 3 2 a 5 = 15 2

Đáp án C

Dựng A H ⊥ B D ,  lại có

S A ⊥ S H A ⇒ S B D ; A B C D ^ = S H A ^  

Ta có A H = 2 a 5 ⇒ tan α = S A A H = 15 2  

a . \(\left(SAC\right)\cap\left(SBC\right)=SC\)   (3) 

Trên (SAC) hạ \(AH\perp SC\left(2\right)\) ; trên \(\left(SAB\right)\) hạ \(AK\perp SB\) 

C/m : HK \(\perp SC\) <- \(SC\perp\left(AHK\right)\) <- \(AK\perp SC\) 

C/m : AK \(\perp SC\)  . Ta có : \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SBA\right)\Rightarrow AK\perp\left(SBC\right)\left(AK\perp SB\right)\)

\(\Rightarrow AK\perp SC\) . Từ đó ; c/m được : \(HK\perp SC\)  (1) 

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra : \(\left(\left(SAC\right);\left(SBC\right)\right)=\widehat{AHK}\)

Tính được : AH ; AK  ; mặt khác : \(AK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AK\perp HK\) 

\(\Rightarrow\) \(\Delta HKA\)  \(\perp\) tại K 

\(\Rightarrow...\)

b. Từ A kẻ \(AE\perp SB\) ; \(AF\perp SD\)

Dễ dàng chứng minh \(AE\perp\left(SBC\right)\) và \(AF\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AE và AF (là góc \(\widehat{EAF}\) nếu nó nhọn và là góc bù với \(\widehat{EAF}\) nếu nó tù)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\dfrac{3a}{2}\)

\(AF=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) ; \(SF=\sqrt{SA^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác SBD:

\(cos\widehat{BSD}=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2SB.SD}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác SEF:

\(EF=\sqrt{SE^2+SF^2-2SE.SF.cos\widehat{BSD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{EAF}=\dfrac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}\approx69^018'\)

Đáp án C